求证：对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．

Question

求证：对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．

Answer 1

设已知矩形A的长与宽分别为a，b，所求矩形B的长与宽为x，y，
则矩形A的周长是2（a+b），面积为ab，
矩形B的周长为2（x+y），面积为xy，
则

x+y=k(a+b)

xy=kab

∴x，y是方程t²-k（a+b）t+kab=0的两实根．
当△=[k（a+b）]²-4kab≥0，即k≥(4ab)/((a+b)2)时，方程有解．
所以，对于长与宽分别为a，b的矩形，当k≥(4ab)/((a+b)2)时，存在周长与面积都是已知矩形的k倍的矩形．
∵（a-b）²≥0，
∴a²+b²≥2ab，a²+b²+2ab≥4ab，
即（a+b）²≥4ab，(4ab)/((a+b)2)≤1，
∴(4ab)/((a+b)2)的最大值为1．
∴当k≥1时，所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形，
即对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．