设总体X的概率分布为X0123Pθ22θ（1-θ）θ21-2θ其中θ（0＜θ＜12）是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计和最大似然估计值．

Question

设总体X的概率分布为

X	0	1	2	3
P	θ2	2θ（1-θ）	θ2	1-2θ

其中θ（0＜θ＜(1)/(2)）是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计和最大似然估计值．

Answer 1

EX=0×θ²+1×2θ（1-θ）+2×θ²+3×（1-2θ）=3-4θ，
故：θ＝(1)/(4)(3−EX)，
θ的矩估计量为：

̂

θ

＝(1)/(4)(3−

.

X

)，
根据给定的样本观察值计算：

.

x

＝(1)/(8)(3+1+3+0+3+1+2+3)=2，
因此θ的矩估计值为：

̂

θ

＝(1)/(4)(3−

.

x

)＝(1)/(4)．
对于给定的样本值，
似然函数为：L（θ）=4θ⁶（1-θ）²（1-2θ）⁴，
取对数可得：
lnL（θ）=ln4+6lnθ+2ln（1-θ）+4ln（1-2θ），
从而：(dlnL(θ))/(dθ)＝(6)/(θ)−(2)/(1−θ)−(8)/(1−2θ)＝(24θ2−28θ+6)/(θ(1−θ)(1−2θ))，
令：(dlnL(θ))/(dθ)＝0，
得方程：12θ²-14θ+3=0，
解得：θ＝(7−√(13))/(12)（θ＝(7+√(13))/(12)＞(1)/(2)，不合题意），
于是θ的最大似然估计值为：

̂

θ

＝(7−√(13))/(12)．