设总体X的分布函数为：F（x，β）=1−1xβ，x＞10，x≤1，其中β＞1，X1，…Xn是来自于X的简单随机样本，如果取得样本观测值为，X1，X2，…，Xn，求β的矩估计量和最大似然估计值．

Question

设总体X的分布函数为：F（x，β）=

1−(1)/(xβ)，x＞1

0，x≤1

，其中β＞1，X₁，…X_n是来自于X的简单随机样本，如果取得样本观测值为，X₁，X₂，…，X_n，求β的矩估计量和最大似然估计值．

Answer 1

设f（x，β）为X关于参数β的概率密度，则
f(x，β)＝F′(x，β)＝

(β)/(xβ+1)，x＞1

0，      x≤1

（1）矩估计：由于EX＝

∫

+∞ −∞

xf(x，β)dx＝β

∫

+∞ 1

(1)/(xβ)dx＝(β)/(1−β)
令EX＝

.

x

，则
β＝(.x)/(.x+1)
即β的矩估计为

β

＝(.x)/(.x+1)
（2）极大似然估计：
由于似然函数为L（x₁，x₂，…，x_n；λ）=

n

π

i＝1

(β)/(xiβ+1)
∴lnL＝nLnβ−(β+1)

n

i＝1

lnxi
令(∂lnL)/(∂β)＝0
解得
β＝(n)/(ni＝1lnxi)
∴β的