在三角形ABC中,点D为AB中点,点P为CD中点,若(向量PA^2+向量PB^2)/向量PC^2=10,则A.∠CAB=90°B.∠BCA=90°C.CA=CBD.BC=BA

Question

在三角形ABC中,点D为AB中点,点P为CD中点,若(向量PA^2+向量PB^2)/向量PC^2=10,则
A.∠CAB=90° B.∠BCA=90° C.CA=CB D.BC=BA

Answer 1

由中线定理得（中线定理的证明可利用余弦定理,详见中线定理百度百科词条）
PA^2=(1/2)(AC^2+AD^2)-(1/4)(CD^2)
PB^2=(1/2)(BC^2+BD^2)-(1/4)(CD^2)
PC^2=(1/4)(CD^2)
由题意得PA^2+PB^2=10PC^2
代入上式(1/2)(AC^2+AD^2)-(1/4)(CD^2)+(1/2)(BC^2+BD^2)-(1/4)(CD^2)=(5/2)(CD^2）
又有AD^2=BD^2=(1/4)(AB^2)
化简得(1/2)(AC^2)+(1/2)(BC^2)+(1/4)(AB^2)=3CD^2
再用一次中线定理CD^2=(1/2)(AC^2+BC^2)-(1/4)(AB^2)
代入上式得AC^2+BC^2=AB^2
于是可知∠BCA=90°该题选B