如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．（1）求证：EF∥平面BB1D1D；（2）求D点到平面BEF的距离．

Question

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC、C₁D₁的中点．
（1）求证：EF∥平面BB₁D₁D；
（2）求D点到平面BEF的距离．

Answer 1

（1）证明：取BD的中点G，连结EG，D₁G，
因为E为BC的中点，所以EG为三角形BCD的中位线
则EG∥DC，且EG=(1)/(2)CD，
∵F为C₁D₁的中点，∴D₁F∥CD，且D₁F=(1)/(2)CD，
∴EG∥D₁C，且EG=D₁F，∴四边形EGD₁F为平行四边形，
∴D₁G∥EF，而D₁G⊂平面BB₁D₁D，EF⊄平面BB₁D₁D，
∴EF∥平面BB₁D₁D；
（2）设D点到平面BEF的距离为h．
则S_△BEF=(1)/(2)•2•√(20)=2√(5)，S_△BDE=(1)/(2)•2•4=2，
∴由等体积可得(1)/(3)•2√(5)•h=(1)/(3)•2•2，
∴h=(2√(5))/(5)．