已知a、b、c是两两不等的有理数,且√a+√b+√c也是有理数,求证√a、√b、√c都是有理数.

Question

已知a、b、c是两两不等的有理数,且√a+√b+√c也是有理数,求证√a、√b、√c都是有理数.

Answer 1

假设d=√a+√b+√c,则d为有理数
则√a=d-√b-√c
两边平方得a=d*d+b+c+2√bc-2d√b-2d√c
移项,得a-d*d-b-c=2√bc-2d√b-2d√c
设2e=a-d*d-b-c,则e为有理数
则√bc-e=d√b-d√c
两边平方得bc+e*e-2e√bc=d*d*(b+c-2√bc)
移项,合并同类项得2(d*d+e)√bc=bc+e*e-d*d*(b+c)
其中2d*d+2e=d*d+a-b-c
而由d=√a+√b+√c可知d*d=a+b+c+2√ab+2√bc+2√ac
由题意可知,a,b,c都为正数,所以2d*d+2e=d*d+a-b-c=2a+2√ab+2√bc+2√ac,是一个大于零的有理数.
对于等式2(d*d+e)√bc=bc+e*e-d*d*(b+c),由于等式右边是一个有理数,等式左边的2(d*d+e)是不为零的有理数,故√bc一定为有理数.
同理可证√ac,√ab一定为有理数.
对于d=√a+√b+√c,
移项得d-√a=√b+√c
平方得d*d+a-2d√a=b+c+2√bc
故2d√a=b+c+2√bc-d*d-a,已经证明出等式右边是一个有理数
等式左边,由于a,b,c互不相等,故d不等于零,故
√a=(b+c+2√bc-d*d-a)/2d,是一个有理数.
同理可证,√b,√c都是有理数.