已知抛物线y=ax2+bx-1经过点A（-1，0）、B（m，0）（m＞0），且与y轴交于点C．（1）求a、b的值（用含m的式子表示）；（2）如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子

Question

已知抛物线y=ax²+bx-1经过点A（-1，0）、B（m，0）（m＞0），且与y轴交于点C．
（1）求a、b的值（用含m的式子表示）；
（2）如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；
（3）在x轴上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求m的值．

Answer 1

（1）依题意得：

a−b−1＝0

m2a+mb−1＝0

，
解得：

a＝(1)/(m)

b＝(1−m)/(m)

，
∴抛物线的解析式为：y=(1)/(m)x²+(1−m)/(m)x-1；

（2）∵x=0时，y=-1，
∴C（0，-1），
∵OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∴∠BMC=2∠OAC=90°．
又∵BC＝√(m2+1)，
∴S＝(1)/(4)π•MC2＝(1)/(4)π•(BC2)/(2)＝((m2+1)π)/(8)；

（3）如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则P关于对称轴的对称点P'也符合题意，即P、P'对应的m值相同．下面以点P在对称轴右侧进行分析：
情形一：若△ABC∽△APB，
∴∠PAB=∠BAC=45°，(AB)/(AP)＝(AC)/(AB)，
过P作PD⊥x轴垂足为D，连PA、PB．
在Rt△PDA中，∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PD=AD，
∴可令P（x，x+1），
若P在抛物线上，
则有x+1=(1)/(m)x²+(1−m)/(m)x-1．
即x²+（1-2m）x-2m=0，
解得x₁=-1，x₂=2m，
∴P₁（2m，2m+1），P₂（-1，0）显然P₂不合题意，舍去．
此时AP=√(2)PD=（2m+1）√(2)；①
又由(AB)/(AP)＝(AC)/(AB)，得AP＝(AB2)/(AC)＝((m+1)2)/(√(2))；②
由①、②有：（2m+1）√(2)=((m+1)2)/(√(2))．
整理得：m²-2m-1=0，
解得：m=1±√(2)，
∵m＞0，
∴m=1+√(2)．
即若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则m=1+√(2)；（8分）

情形二：△ABC∽△PAB，
则∠PAB=∠ABC，(AB)/(AP)＝(BC)/(AB)，
同于情形一：∵∠PAB=∠ABC，
∴(PD)/(AD)＝(OC)/(OB)＝(1)/(m)，
∴可令P（x，(1)/(m)（x+1）），
若P在抛物线上，则有(1)/(m)（x+1）=(1)/(m)x²+(1−m)/(m)x-1．
整理得：x²-mx-m-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=m+1，
∴P（m+1，(1)/(m)（m+2））或P（-1，0），
显然P（-1，0）不合题意，舍去．
此时AP＝√(AD2+PD2)＝((m+2)√(m2+1))/(m)；①
又由(AB)/(AP)＝(BC)/(AB)得：AP＝(AB2)/(BC)＝((m+1)2)/(√(m2+1))；②
由①、②得：((m+2)√(m2+1))/(m)＝((m+1)2)/(√(m2+1))，
整理得m²=m²+1，显然无解．（10分）
综合情形一二得：若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则m=1+√(2)．