设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0．又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为13．试确定a、b、c，使此图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积V最小．

Question

设抛物线y=ax²+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0．又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为(1)/(3)．试确定a、b、c，使此图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积V最小．

Answer 1

解；∵抛物线y=ax²+bx+c过原点
∴c=0
又抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为(1)/(3)
即：

∫

1 0

(ax2+bx)dx＝(1)/(3)
∴(1)/(3)a+(1)/(2)b＝(1)/(3)
∴b＝(2)/(3)(1−a)
∴图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积
V=π

∫

1 0

(ax2+bx)2dx＝π•[(a2)/(5)x5+(ab)/(2)x4+(b2)/(3)x3

]

1 0

=π[(a2)/(5)+(ab)/(2)+(b2)/(3)]=π[(2)/(135)a2+(1)/(27)a+(4)/(27)]
∴V′(a)＝π•((4)/(135)a+(1)/(27))
令V′（a）=0，得：a＝−(5)/(4)
又V″(a)＝(4π)/(135)＞0
∴a＝−(5)/(4)是V(a)的唯一极小值点
∴a＝−(5)/(4)是V(a)的最小值点
此时，解得：b＝(3)/(2)
∴a＝−(5)/(4)，b＝(3)/(2)，c＝0