已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=-2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴

Question

已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=-2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，问：
①若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令x=0，则y=8，
∴B（0，8），
令y=0，则-2x+8=0，
∴x=4，
∴A（4，0），
（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，
∴-2m+8=n，∵A（4，0），
∴OA=4，
∴0∴S_△PAO=(1)/(2)OA×PE=(1)/(2)×4×n=2（-2m+8）=-4m+16，（0<m<4）；
（3）存在，
理由：∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥AB时，此时EF最小，
∵A（4，0），B（0，8），
∴AB=4√(5)
∵S△AOB=(1)/(2)OA×OB=(1)/(2)AB×OP，
∴OP=(OA×OB)/(AB)=(4×8)/(4√(5))=(8)/(5)√(5)，
∴EF最小=OP=(8)/(5)√(5)．