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证明不等式xinx+yiny>(x+y)in(x+y)/2,(x>0,y>0,x不等于y
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证明不等式xinx+yiny>(x+y)in(x+y)/2,(x>0,y>0,x不等于y
▼优质解答
答案和解析
考虑辅助函数f(u)=ulnu,u>0.
则f''(u)=1/u>0恒成立,故f(u)是(0,+∞)上的严格凸函数.
从而有f(x)+f(y)>f[(x+y)/2],
也就是xlnx+ylny>[(x+y)ln(x+y)]/2,其中x≠y.
则f''(u)=1/u>0恒成立,故f(u)是(0,+∞)上的严格凸函数.
从而有f(x)+f(y)>f[(x+y)/2],
也就是xlnx+ylny>[(x+y)ln(x+y)]/2,其中x≠y.
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