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设A为n阶矩阵,证明A^n=0的充要条件是A^(n+1)=0
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设A为n阶矩阵,证明A^n=0的充要条件是A^(n+1)=0
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答案和解析
应该说就是证明两阵的秩同,思路就是假设有一个x使A^(n+1)x=0且A^nx!=0,可构造n+1个线性无关的n维向量,矛盾,所以A^(n+1)x=0的解都是A^nx=0的解；明显A^nx=0的解都是A^(n+1)x=0的解.
所以同解,所以同秩.
应该说就是证明两阵的秩同,思路就是假设有一个x使A^(n+1)x=0且A^nx!=0,可构造n+1个线性无关的n维向量,矛盾,所以A^(n+1)x=0的解都是A^nx=0的解；明显A^nx=0的解都是A^(n+1)x=0的解.
所以同解,所以同秩.
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