设实数n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，则m4−n4m3n的最小值为-803-803．

Question

设实数n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，则(m4−n4)/(m3n)的最小值为

-(80)/(3)

-(80)/(3)

．

Answer 1

设y=2xm+（2-x）n-8，整理可得y=﹙2m-n﹚x+﹙2n-8﹚
当2m-n＞0时，因为x∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•﹙-4﹚+﹙2n-8﹚=-8m+6n-8
当2m-n＜0时，因为x∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•2+﹙2n-8﹚=4m-8
∵不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，
∴m，n满足

−8m+6n−8≥0

2m−n＞0

n≤6

或

2m−n＜0

4m−8≥0

n≤6

可行域如图或
∴当且仅当m=2，n=6时，((n)/(m))max＝3
又(m4−n4)/(m3n)=(m)/(n)−((n)/(m))3，∴(m4−n4)/(m3n)的最小值为=(1)/(3)-3³=-(80)/(3)
故答案为：-(80)/(3)