已知f﹙x﹚=x/x﹣a﹙x≠a﹚(1)若a=-2,试证f(x)在(负无穷,-2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1,正无穷)内单调递减,求a的取值范围.

Question

已知f﹙x﹚=x/x﹣a﹙x≠a﹚
(1)若a=-2,试证f(x)在(负无穷,-2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1,正无穷)内单调递减,求a的取值范围.

Answer 1

(1)f(x)=x/(x+2)=1-2/(x+2)
任取实数x1,x2＜-2,且x1＜x2
∴f(x1)-f(x2)=2/(x2+2)-2/(x1+2)=2(x1-x2)/(x1+2)(x2+2)
∵x1＜x2＜-2
∴x1-x2＜0且x1+2＜0,x2+2＜0
∴f(x1)-f(x2)＜0
∴f(x)在(负无穷,-2)内单调递增
(2)任取实数x1,x2＞1,且x1＜x2
f(x)=1+a/(x-a)
f(x1)-f(x2)=a/(x1-a)-a/(x2-a)=a(x2-x1)/(x1-a)(x2-a)
∵a>0且f(x)在(1,正无穷)内单调递减
且x2-x1＞0
∴(x1-a)(x2-a)＞0
又因为x1,x2是大于1的任意实数,可以去到无限大的值
所以x1,x2均大于a
∴a≤1
∴0＜a≤1
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