已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（1）当f（x）在（0，12）上递增，在（12，23）上递减时，求a，b的值（2）若f（x）在（0，e]（其中e为自然对数的底数）上

Question

已知函数f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b为常数且a≠0）在x=1处取得极值．
（1）当f（x）在（0，(1)/(2)）上递增，在（(1)/(2)，(2)/(3)）上递减时，求a，b的值
（2）若f（x）在（0，e]（其中e为自然对数的底数）上的最大值为1，求a的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx+ax²+bx，
∴f′(x)＝(1)/(x)+2ax+b，
∵函数f（x）=lnx+ax²+bx在x=1，x＝(1)/(2)处取得极值f'（1）=1+2a+b=0，f/((1)/(2))＝2+a+b＝0，
∴a=1，b=-3，
（2）因为f′(x)＝(2ax2−2(a+1)x+1)/(x)＝((2ax−1)(x−1))/(x)，
令f'（x）=0，x1＝1，x2＝(1)/(2a)，
因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x2＝(1)/(2a)≠x1＝1，
(1)/(2a)＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，
所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），令f（1）=1，
解得a=-2，
a＞0，x2＝(1)/(2a)＞0，
当(1)/(2a)＜1时，f（x）在(0，(1)/(2a))上单调递增，((1)/(2a)，1)上单调递减，（1，e）上单调递增，
所以最大值1可能在x＝(1)/(2a)或x=e处取得，
而f((1)/(2a))＝ln(1)/(2a)+a((1)/(2a))2−(2a+1)(1)/(2a)＝ln(1)/(2a)−(1)/(4a)−1＜0，
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a＝(1)/(e−2)，
当1≤(1)/(2a)＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，(1，(1)/(2a))上单调递减，((1)/(2a)，e)上单调递增，
所以最大值1可能在x=1或x=e处取得，
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a＝(1)/(e−2)，与1＜x2＝(1)/(2a)＜e矛盾，
当x2＝

作业帮用户 2017-09-29

问题解析

（1）先求出函数导函数，根据x=1，x＝(1)/(2)是f（x）的一个极值点f′（1）=0，f′（(1)/(2)）=0可构造关于a，b的方程，从而可求出a，b的值；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属于中档题．

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