计算三重积分|x|+|y|+|z|其中x方+y方=z方

Question

计算三重积分|x|+|y|+|z| 其中x方+y方=z方

Answer 1

令x=rsina y=rcosa z=+r,-r ,(a∈（0,2π),r∈【0,a】）
则原三重积分=2∫∫r(|sina|+|cosa|+|1|)=2(∫∫r+∫∫r|sina|+∫∫r|cosa|)
=2*(1/2a^2)(2π+∫|sina|+∫|cosa|)
=a^2(2π+4∫sina+4∫cosa)=(4+π)a^2