已知函数f(x)＝x+mx，且f（1）=2（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明；（3）若f（a）＞2，求a的取值范围．

Question

已知函数f(x)＝x+(m)/(x)，且f（1）=2
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明；
（3）若f（a）＞2，求a的取值范围．

Answer 1

∵f(x)＝x+(m)/(x)，且f（1）=2
∴1+m=2，解得 m=1…（1分）
（1）y=f（x）为奇函数，理由如下：…..（2分）
∵f(x)＝x+(1)/(x)，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称…..（3分）
又f(−x)＝(−x)+(1)/(−x)＝−(x+(1)/(x))＝−f(x)
所以y=f（x）为奇函数…（4分）
（2）f（x）在（1，+∞）上的单调递增，理由如下…..（5分）
设1＜x₁＜x₂，
则f(x2)−f(x1)＝x2+(1)/(x2)−(x1+(1)/(x1))＝(x2−x1)(1−(1)/(x1x2))…（7分）
∵1＜x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，1−(1)/(x1x2)＞0
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），f（x）在（1，+∞）上的单调递增  …（9分）
（3）若f（a）＞2，
即a+(1)/(a)＞2，显然a＞0
则原不等式可化为a²-2a+1=（a-1）²＞0
解得a＞0且a≠1