（2014•北京）已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx＜b对x∈（0，π2）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．

Question

（2014•北京）已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，(π)/(2)]
（1）求证：f（x）≤0；
（2）若a＜(sinx)/(x)＜b对x∈（0，(π)/(2)）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．

Answer 1

（1）由f（x）=xcosx-sinx得
f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
此在区间∈（0，(π)/(2)）上f′（x）=-xsinx＜0，
所以f（x）在区间∈[0，(π)/(2)]上单调递减，
从而f（x）≤f（0）=0．
（2）当x＞0时，“(sinx)/(x)＞a”等价于“sinx-ax＞0”，“(sinx)/(x)＜b”等价于“sinx-bx＜0”
令g（x）=sinx-cx，则g′（x）=cosx-c，
当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，(π)/(2)）上恒成立，
当c≥1时，因为对任意x∈（0，(π)/(2)），g′（x）=cosx-c＜0，
所以g（x）在区间[0，(π)/(2)]上单调递减，
从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，(π)/(2)）恒成立，
当0＜c＜1时，存在唯一的x₀∈（0，(π)/(2)）使得g′（x₀）=cosx₀-c=0，
g（x）与g′（x）在区间（0，(π)/(2)）上的情况如下：

x	（0，x0）	x0	（x0，(π)/(2)）
g′（x）	+		-
g（x）	↑		↓

因为g（x）在区间（0，x₀）上是增函数，
所以g（x₀）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，(π)/(2)）恒成立，
当且仅当g((π)/(2))＝1−(π)/(2)c≥0即0＜c≤(2)/(π)
综上所述当且仅当c≤(2)/(π)时，g（x）＞0对任意x∈（0，(π)/(2)）恒成立，
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，(π)/(2)）恒成立，
所以若a＜(sinx)/(x)＜b对x∈（0，(π)/(2)）上恒成立，则a的最大值为(2)/(π)，b的最小值为1