x、y、z为正数,他们之中任何两个数差的绝对值都不大于2,求证√(xy+1)+√(yz+1)+√(zx+1)>x+y+z

Question

x、y、z为正数,他们之中任何两个数差的绝对值都不大于2,求证√(xy+1)+√(yz+1)+√(zx+1)>x+y+z

Answer 1

因为 |x-y| = (x+y)^2/4 -1
√(xy+1)>= (x+y)/2,等号仅当 |x-y| =2 时成立.
同理：
√(yz+1)>= (y+z)/2
√(zx+1)>= (z+x)/2
三式相加得 √(xy+1)+√(yz+1)+√(zx+1)>= x+y+z
注意到 要得相等,必须是x,y,z两两距离为2,但这不可能.所以
√(xy+1)+√(yz+1)+√(zx+1)> x+y+z