如图，在圆O中AB是直径，AT是经过点A的切线，弦CD垂直AB于P点，线段CP的中点为Q，连接BQ并延长交切线AT于T点，连接OT．（1）求证：BC∥OT；（2）若⊙O直径为10，CD=8，求AT的长；（3）延长TO交

Question

如图，在圆O中AB是直径，AT是经过点A的切线，弦CD垂直AB于P点，线段CP的中点为Q，连接BQ并延长交切线AT于T点，连接OT．

（1）求证：BC∥OT；
（2）若⊙O直径为10，CD=8，求AT的长；
（3）延长TO交直线CD于R，若⊙O直径为10，CD=8，求TR的长．

Answer 1

（1）取BP的中点E，连接QE；
∵Q是PC的中点，E是PB的中点，
∴QE为△PBC的中位线，QE∥BC；
∵AT为经过A点的切线，AB为直径，
∴AT⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AT∥CD，∠TAO=∠QPE=90°，
∴△BPQ∽△BAT，
∴(QP)/(PB)＝(AT)/(AB)；
∵PB=2PE，AB=2AO，
∴(QP)/(PE)＝(AT)/(AO)，
∴△TAO∽△QPE，
∴∠AOT=∠PEQ，
∴OT∥QE；
∵QE∥BC，
∴BC∥OT．
（2）∠AOT=∠CBP；
∵CD⊥AB，AB为直径CD=8，
∴CP=PD=4；
连接OC，在Rt△OCP中，
∵PC=4，OC=(1)/(2)AB=5，
∴OP=3，
∴PB=OB-OP=2，
∴△ATO∽△CPB，
∴(AT)/(AO)＝(CP)/(PB)；
∵AO=(1)/(2)AB=5，
∴AT=10．
（3）在Rt△OAT中，OT=√(AT2+AO2)=5√(5)，
∵AT∥CR，
∴△AOT∽△POR，
∴(OT)/(OR)＝(OA)/(OP)，
OR=(5√(5)×3)/(5)＝3√(5)，
∴TR=OT+OR=8√(5)．