（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直

Question

（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 的离心率 ，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x ² +y ² =1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2）见解析

（1）由 得a ² =3b ² ，椭圆方程为x ² +3y ² =3b ²
椭圆上的点到点Q的距离 =
①当﹣b≤﹣1时，即b≥1， 得b=1
②当﹣b＞﹣1时，即b＜1， 得b=1（舍）
∴b=1
∴椭圆方程为
（2）假设M（m，n）存在，则有m ² +n ² ＞1
∵|AB|= ，点O到直线l距离
∴ =
∵m ² +n ² ＞1
∴0＜ ＜1，∴
当且仅当 ，即m ² +n ² =2＞1时，S _△AOB 取最大值 ，
又∵
解得：
所以点M的坐标为 或 或 或 ，△AOB的面积为 ．