已知双曲线C:x^2-y^2=1,F是其右焦点,过F的直线L只与双曲线的右支有唯一的交点,则直线L的斜率等于.

Question

已知双曲线C:x^2-y^2=1,F是其右焦点,过F的直线L只与双曲线的右支有唯一的交点,则直线L的斜率等于.

Answer 1

焦点F坐标（根号2,0）,显然L斜率存在（否则L与双曲线有两个不同交点,不合题意）,则可设L方程为：y=k(x-根号2),与x²-y²=1联立得,（k²-1）x²-2*根号2k²x+2k²+1=0,当k=-1或1时,上式即为只有1根的一元一次方程,符合题意；当k≠1且≠-1时,上式为一元二次方程,其德尔塔=（2*根号2k²）²-4*（k²-1）*（2k²+1）=4（k²+1）恒＞0,说明上式有两个不等的实数根,从而不合题意.
综上,L斜率为1或-1!
（上述解答过程在草稿纸上运算极为方便,但在电脑上较为不便,敬请原谅!）!