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计算曲线积分∫Lsin2xdx+2(x2-1)ydy,其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(π,0)的一段.
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计算曲线积分∫Lsin2xdx+2(x2-1)ydy,其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(π,0)的一段.
▼优质解答
答案和解析
令I=∫Lsin2xdx+2(x2−1)ydy=∫Lsin2xdx−2ydy+∫L2x2ydy=I1+I2,
对于I1,由于P=sin2x,Q=-2y,得Py=Qx=0,故I1与积分路径无关.
取积分路径为从(0,0)到(π,0)的直线段路径,即y=0,0≤x≤π
∴I1=
sin2xdx=0.
对于I2,
I2=∫L2x2ydy=
2x2sinxcosdx=
x2sin2xdx
=−
+
xcos2xdx
=−
+
−
dx
=−
故 I=−
令I=∫Lsin2xdx+2(x2−1)ydy=∫Lsin2xdx−2ydy+∫L2x2ydy=I1+I2,
对于I1,由于P=sin2x,Q=-2y,得Py=Qx=0,故I1与积分路径无关.
取积分路径为从(0,0)到(π,0)的直线段路径,即y=0,0≤x≤π
∴I1=
∫ | π 0 |
对于I2,
I2=∫L2x2ydy=
∫ | π 0 |
∫ | π 0 |
=−
x2cos2x |
2 |
| | π 0 |
∫ | π 0 |
=−
π2 |
2 |
xsin2x |
2 |
| | π 0 |
∫ | π 0 |
sin2x |
2 |
=−
π2 |
2 |
故 I=−
π2 |
2 |
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