计算曲线积分∫Lsin2xdx+2（x2-1）ydy，其中L是曲线y=sinx上从点（0，0）到点（π，0）的一段．

Question

计算曲线积分∫_Lsin2xdx+2（x²-1）ydy，其中L是曲线y=sinx上从点（0，0）到点（π，0）的一段．

Answer 1

令I＝∫Lsin2xdx+2(x2−1)ydy=∫Lsin2xdx−2ydy+∫L2x2ydy=I₁+I₂，
对于I₁，由于P=sin2x，Q=-2y，得P_y=Q_x=0，故I₁与积分路径无关．
取积分路径为从（0，0）到（π，0）的直线段路径，即y=0，0≤x≤π
∴I1＝

∫

π 0

sin2xdx＝0．
对于I₂，
I2＝∫L2x2ydy＝

∫

π 0

2x2sinxcosdx=

∫

π 0

x2sin2xdx
=−(x2cos2x)/(2)

|

π 0

+

∫

π 0

xcos2xdx
=−(π2)/(2)+(xsin2x)/(2)

|

π 0

−

∫

π 0

(sin2x)/(2)dx
=−(π2)/(2)
故  I＝−(π2)/(2)