已知极限limx→0x−arctanxxk＝c，其中k，c为常数，且c≠0，则（）A．k＝2，c＝−12B．k＝2，c＝12C．k＝3，c＝−13D．k＝3，c＝13

Question

已知极限

lim

x→0

(x−arctanx)/(xk)＝c，其中k，c为常数，且c≠0，则（　　）

A．k＝2，c＝−(1)/(2)
B．k＝2，c＝(1)/(2)
C．k＝3，c＝−(1)/(3)
D．k＝3，c＝(1)/(3)

Answer 1

：当x→0时，分子x-arctanx→0，而分母x^k=

0 k＞0

1 k＝0

∞ k＜0

∵c为常数且c≠0
∴k＞0
∴(x−arctanx)/(xk)为(0)/(0)待定型
可以 运用一次洛比达法则

lim

x→0

((x−arctanx)′)/((xk)′)=

lim

x→0

(1−(1)/(1+x2))/(kxk−1)=

lim

x→0

(1+x2−1)/(kxk−1(1+x2))=

lim

x→0

(x2)/(kxk−1)
当x→0时，分子x²→0，而分母kxk−1＝

∞  0＜k＜1

1  k＝1

0  k＞1

∵c为常数且c≠0
∴k＞1
继续运用洛比达法则：原极限等价于

lim

x→0

((x2)′)/((kxk−1)′)＝

lim

x→0

(2x)/(k•(k−1)xk−2)
当x→0时，分子2x→0，而分母xk−1＝

∞  1＜k＜2

1   k＝2

0    k＞2

∴k＞2
继续运用洛比达法则：原极限等价于(1)/(k(k−1))

lim

x→0

((2x)′)/((xk−2)′)=(1)/(k(k−1))

lim

x→0

(2)/((k−2)xk−3)
当x→0时，分子是常数2，而分母xk−3＝

∞  2＜k＜3

1   k＝3

0   k＞3

∵c为常数且c≠0
∴k=3
∴(2)/(k(k−1)(k−2))＝(2)/(3•2•1)＝(1)/(3)＝c
∴c＝(1)/(3)
故答案选：D