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已知函数g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,又f(x)=2x+3.是否存在常数k,b使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立,如果存在,求出k,b.如果不存在,说明
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已知函数g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,又f(x)=2x+3.是否存在常数k,b使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立,如果存在,求出k,b.如果不存在,说明为什么?
▼优质解答
答案和解析
①当k>0时:g(x)在区间[-1,1]上,
g(x)max=g(1)=k+b;
g(x)min=g(-1)=-k+b
∴k+b-(-k+b)=2即:k=1
②当k<0时:g(x)在区间[-1,1]上,
g(x)max=g(-1)=-k+b;
g(x)min=g(1)=k+b
∴-k+b-(k+b)=2即:k=-1
假设存在k,b使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立;
当k=1时,f[g(x)]
=f(x+b)=2(x+b)+3
=2x+2b+3=g[f(x)]
=g(2x+3)
=2x+3+b
∴2x+2b+3=2x+b+3即:b=0
同理:当k=-1时,b=-6
∴存在
或
时,使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立
g(x)max=g(1)=k+b;
g(x)min=g(-1)=-k+b
∴k+b-(-k+b)=2即:k=1
②当k<0时:g(x)在区间[-1,1]上,
g(x)max=g(-1)=-k+b;
g(x)min=g(1)=k+b
∴-k+b-(k+b)=2即:k=-1
假设存在k,b使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立;
当k=1时,f[g(x)]
=f(x+b)=2(x+b)+3
=2x+2b+3=g[f(x)]
=g(2x+3)
=2x+3+b
∴2x+2b+3=2x+b+3即:b=0
同理:当k=-1时,b=-6
∴存在
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