如图，已知AB是⊙O的直径，点H在⊙O上，E是HB的中点，过点E作EC⊥AH，交AH的延长线于点C．连接AE，过点E作EF⊥AB于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若FB=2，tan∠CAE=22，求OF的长．

Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点H在⊙O上，E是 

HB

 的中点，过点E作EC⊥AH，交AH的延长线于点C．连接AE，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若FB=2，tan∠CAE=(√(2))/(2)，求OF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵点E为弧HB的中点，
∴∠1=∠2，
∵OE=OA，
∴∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴OE∥AC，
∵AC⊥CE，
∴OE⊥CE，
∵点E在⊙O上，
∴CE是⊙O的切线；     
（2）连接EB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵EF⊥AB于点F，
∴∠AFE=∠EFB=90°，
∴∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°，
∴∠2=∠4=∠1．
∵tan∠CAE=(√(2))/(2)，
∴tan∠4=(√(2))/(2)，
在Rt△EFB中，∠EFB=90°，FB=2，tan∠4=(√(2))/(2)，
∴EF=2√(2)，
在Rt△AEF中，tan∠2=(√(2))/(2)，EF=2√(2)，
∴AF=4，
∴AB=AF+EF=6，
∴OB=3，
∴OF=OB-BF=1．