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如图,已知AB是⊙O的直径,点H在⊙O上,E是HB的中点,过点E作EC⊥AH,交AH的延长线于点C.连接AE,过点E作EF⊥AB于点F.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若FB=2,tan∠CAE=22,求OF的长.
题目详情
如图,已知AB是⊙O的直径,点H在⊙O上,E是
的中点,过点E作EC⊥AH,交AH的延长线于点C.连接AE,过点E作EF⊥AB于点F.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若FB=2,tan∠CAE=
,求OF的长.
HB |
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若FB=2,tan∠CAE=
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2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OE,
∵点E为弧HB的中点,
∴∠1=∠2,
∵OE=OA,
∴∠3=∠2,
∴∠3=∠1,
∴OE∥AC,
∵AC⊥CE,
∴OE⊥CE,
∵点E在⊙O上,
∴CE是⊙O的切线;
(2)连接EB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵EF⊥AB于点F,
∴∠AFE=∠EFB=90°,
∴∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°,
∴∠2=∠4=∠1.
∵tan∠CAE=
,
∴tan∠4=
,
在Rt△EFB中,∠EFB=90°,FB=2,tan∠4=
,
∴EF=2
,
在Rt△AEF中,tan∠2=
,EF=2
,
∴AF=4,
∴AB=AF+EF=6,
∴OB=3,
∴OF=OB-BF=1.
∵点E为弧HB的中点,
∴∠1=∠2,
∵OE=OA,
∴∠3=∠2,
∴∠3=∠1,
∴OE∥AC,
∵AC⊥CE,
∴OE⊥CE,
∵点E在⊙O上,
∴CE是⊙O的切线;
(2)连接EB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵EF⊥AB于点F,
∴∠AFE=∠EFB=90°,
∴∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°,
∴∠2=∠4=∠1.
∵tan∠CAE=
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∴tan∠4=
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在Rt△EFB中,∠EFB=90°,FB=2,tan∠4=
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∴EF=2
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在Rt△AEF中,tan∠2=
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∴AF=4,
∴AB=AF+EF=6,
∴OB=3,
∴OF=OB-BF=1.
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