如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．设登陆点在D处，从A到C所用的时间为y（单位：h）．（1）按下列要求

Question

如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．设登陆点在D处，从A到C所用的时间为y（单位：h）．
（1）按下列要求建立函数关系：①设∠BAD=θ（rad），将y表示为θ的函数；②设BD=x（km），将y表示为x的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系，确定登陆点D的位置，使从A到C所用时间最少？并求出所用的最少时间．

Answer 1

（1）①在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD＝50tanθ，AD＝(50)/(cosθ)，∴DC=100-BD=100-50tanθ．
∴y＝(AD)/(25)+(DC)/(50)＝(2)/(cosθ)+2−tanθ＝(2+2cosθ−sinθ)/(cosθ)(0≤θ≤α，其中tanα＝2，α∈[0，(π)/(2)))…（4分）

②在Rt△ABD中，DC＝100−x，AD＝√(x2+502)，
∴y＝(AD)/(25)+(DC)/(50)＝(1)/(25)√(x2+2500)+2−(x)/(50)(0≤x≤100)．…．（8分）
注：定义域不写或写错扣（1分）
（2）①y′＝(2sinθ−1)/(cos2θ)，…．（10分）
当0＜θ＜(π)/(6)时，y'＜0，∴函数y在(0，(π)/(6))单调递减；
当(π)/(6)＜θ＜α，tanα＝2，α∈[0，(π)/(2))时，y'＞0，
∴函数y在（0，α）单调递增…．（12分）
∴当θ＝(π)/(6)时，ymin＝(2+2cos(π)/(6)−sin(π)/(6))/(cos(π)/(6))＝2+√(3．)…．（13分）
此时BD＝50tan(π)/(6)＝(50√(3))/(3)．…．（14分）
答：当BD＝(50√(3))/(3)km时，从A到C所用时间最少为(2+√(3))h．…．（15分）
②y′＝(x)/(25√(x2+2500))−(1)/(50)＝(2x−√(x2+2500))/(50√(x2+2500))．…．（10分）
当0＜x＜(50)/(√(3))时，y'＜0，∴函数y在(0，(50)/(√(3)))单调递减；
当(50)/(√(3))＜x＜100时，函数在((50)/(√(3))，100)单调递增…．（12分）
∴当x＝(50√(3))/(3)时，ymin＝2+√(3．)．…（14分）
答：当BD＝(50√(3))/(3)km时，从A到C所用时间最少为(2+√(3))h…．（15分）