找一个柯西序列不收敛，最好学过泛函分析的进距离空间A={0,1,1/2,1/3,……,1/n,……}是R的子空间，取距离ρ(x,y)=|x-y|。试在A中找一个柯西序列{xn}（有的书叫基本点列，就是任意e>0，存在N，使

Question

找一个柯西序列不收敛，最好学过泛函分析的进
距离空间A={0,1,1/2,1/3,……,1/n,……}是R的子空间，取距离ρ(x,y)=|x-y|。
试在A中找一个柯西序列{x_n}（有的书叫基本点列，就是任意e>0，存在N，使当n,m>N时ρ(x_n,x_m)但{x_n}在A中不收敛。

注：我看的是郑维行和王声望的《实变函数与泛函分析概要》（第四版第二册），书中写到完备空间都是第二类型的集，而R的任意可数子集都是第一类型的集，因此A必是不完备空间，但我不能直接根据完备空间的定义证明。麻烦大家在A里面找一个不收敛的柯西列了。
由于R是完备空间，因此实际上只需要在A里面找一个收敛的序列，但是收敛到的数不在A中就可以了，可是好像不是很好找。。

Answer 1

这个A是完备的。
问题在于，完备空间都是『它自身的』第二纲集。就是说，这个A作为它自身的子集是第二纲集。但是A是R的可数子集，所以A是R中的第一纲集，这和A是A的第二纲集不矛盾。