如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点H在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是hM、hN，四边形MBNH的面积是S．（1）当顶点H和

Question

如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点H在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是h_M、h_N，四边形MBNH的面积是S．
（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S=

(1)/(4)

(1)/(4)

，h_M+h_N=

(√(2))/(2)

(√(2))/(2)

（只要求写出结果，不用证明）；
（2）若顶点H为OB的中点（图2），S=

(1)/(16)

(1)/(16)

，h_M+h_N=

(√(2))/(4)

(√(2))/(4)

 （只要求写出结果，不用证明）；
（3）按要求完成下列问题：
我们准备探索：当BH=n时，S=

(1)/(2)n²

(1)/(2)n²

，h_M+h_N=______；
①简要写出你的探索过程；②在上面的横线上填上你的结论；③证明你得到的结论．

Answer 1

（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时，如图1，
过H点分别作AB、BC的垂线HI和HJ，垂足分别为I、J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∵HI⊥AB于I，HJ⊥BC于J，
∴HI=HJ，∠HIB=∠HJB=90°，
∴四边形IBJH是正方形．
在△HMI和△HNJ中，

∠HIM＝∠HJN＝90°

HI＝HJ

∠IHM＝∠JHN＝90°−∠IHN

，
∴△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四边形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=S_△HMI+S_△HBI+S_△BHJ-S_△HNJ=S_△HBI+S_△BHJ=S_{正方形HIBJ}=(1)/(2)BH²=(1)/(2)（(1)/(2)BD）²=(1)/(2)×（(√(2))/(2)）²=(1)/(4)；
又∵S_{四边形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=(1)/(2)BH•h_M+(1)/(2)BH•h_N=(1)/(2)BH（h_M+h_N），
∴(1)/(4)=(1)/(2)×(√(2))/(2)（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=

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