（2012•铁岭）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形AnBnCnDn的面积为(15)n−1S

Question

（2012•铁岭）如图，点E、F、G、H分别为菱形A₁B₁C₁D₁各边的中点，连接A₁F、B₁G、C₁H、D₁E得四边形A₂B₂C₂D₂，以此类推得四边形A₃B₃C₃D₃…，若菱形A₁B₁C₁D₁的面积为S，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为

((1)/(5))n−1S或(S)/(5n−1)

((1)/(5))n−1S或(S)/(5n−1)

．

Answer 1

∵H为A₁B₁的中点，F为C₁D₁的中点，
∴A₁H=B₁H，C₁F=D₁F，
又A₁B₁C₁D₁为菱形，∴A₁B₁=C₁D₁，
∴A₁H=C₁F，又A₁H∥C₁F，
∴四边形A₁HC₁F为平行四边形，
∴S_{四边形A1HC1F}=2S_△HB1C1=2S_△A1D1F，
又S_{四边形A1HC1F}+S_△HB1C1+S_△A1D1F=S_{菱形A1B1C1D1}=S，
∴S_{四边形A1HC1F}=(1)/(2)S，
又GD₁=B₁E，GD₁∥B₁E，
∴GB₁ED₁为平行四边形，
∴GB₁∥ED₁，又G为A₁D₁的中点，
∴A₂为A₁D₂的中点，
同理C₂为C₁B₂的中点，B₂为B₁A₂的中点，D₂为D₁C₂的中点，
∴HB₂=(1)/(2)A₁A₂，D₂F=(1)/(2)C₁C₂，
又A₁A₂B₂H和C₁C₂D₂F都为梯形，且高与平行四边形A₂B₂C₂D₂的高h相等（设高为h），
下底与平行四边形A₂B₂C₂D₂的边A₂D₂与x相等（设A₂D₂=x），
∴S_{梯形A1A2B2H}=S_{梯形C1C2D2F}=(1)/(2)（x+(1)/(2)x）h=(3)/(4)xh，S_{平行四边形A2B2C2D2}=xh，
即S_{梯形A1A2B2H}：S_{梯形C1C2D2F}：S_{平行四边形A2B2C2D2}=3：3：4，
又S_{梯形A1A2B2H}+S_{梯形C1C2D2F}+S_{平行四边形A2B2C2D2}=S_{四边形A1HC1F}，
∴S_{平行四边形A2B2C2D2}=(2)/(5)S_{四边形A1HC1F}=(1)/(5)S，
同理S_{四边形A3B3C3D3}=（(1)/(5)）²S，
以此类推得四边形A_nB_nC_nD_n的面积为（(1)/(5)）^n-1S或(S)/(5n−1)．
故答案为：（(1)/(5)）^n-1S或(S)/(5n−1)．