（2006•哈尔滨）已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+54m2=0的

Question

（2006•哈尔滨）已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．
（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x²-2mx+n²-mn+(5)/(4)m²=0的两个实数根，求证：AM=AN；
（2）若AN=(15)/(8)，DN=(9)/(8)，求DE的长；
（3）若在（1）的条件下，S_△AMN：S_△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y²-16ky+10k²+5=0的两个实数根，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：△=（-2m）²-4（n²-mn+(5)/(4)m²）=-（m-2n）²≥0，
∴（m-2n）²≤0，
∴m-2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x²-2mx+n²-mn+(5)/(4)m²=0有两个相等实根，
∴AM=AN．

（2）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴(AD)/(BD)=(DC)/(AD)，
∴AD²=BD•DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴△ADC∽△BDA，
∴(ED)/(CD)=(BD)/(DN)，
∴BD•DC=ED•DN，
∴AD²=ED•DN，
∵AN=(15)/(8)，DN=(9)/(8)，
∴AD=DN+AN=3，
∴3²=(9)/(8)DE，
∴DE=8．

（3）由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠AMN+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB，
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE
过点M作MG⊥AN于点G
由MG∥BD得(MG)/(BD)=(AM)/(AB)，
∴(S△AMN)/(S△ABE)=((1)/(2)AN•MG)/((1)/(2)AE•BD)=(AM2)/(AB2)=(9)/(64)，
∴(AM)/(AB)=(3)/(8)，
∴(AN)/(AE)=(AM)/(AB)=(3)/(8)，
过点A作AH⊥EF于点H，
由AH∥FN，
得(EH)/(HF)=(AE)/(AN)=(8)/(3)，
设EH=8a，则FH=3a，
∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，
∴BF=5a，EF=11a，
由根与系数关系得，

BF+EF＝16a＝(16)/(5)k

BF•EF＝55a2＝2k2+1

，
解得：a=±(√(5))/(5)，
∵a＞0，a=(√(5))/(5)，
∴BF=√(5)，
由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
∴(AC)/(BC)=(AN)/(BM)=(3)/(5)
设AC=3b，则BC=5b
在Rt△ABC中，有AB=4b．
∴AM=(3)/(2)b．
在Rt△ACM中，有MC=(3√(5))/(2)b
由△ACM∽△FCB得(BC)/(BF)＝(CM)/(AM)，∴(BC)/(√(5))＝((3√(5))/(2)b)/((3)/(2)b)，
∴BC=5．