如图，点F1（-c，0）、F2（c，0）分别是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线，交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作PF2的垂线交直线x＝a2c于点Q．（1）如果点Q的坐标为（4

Question

如图，点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆
C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F₁作x轴的垂线，交椭圆C的上半部分于点P，过点F₂作PF₂的垂线交直线x＝(a2)/(c)于点Q．
（1）如果点Q的坐标为（4，4），求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论．

Answer 1

（1）解方程组

x＝−c

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1

得P点的坐标为(−c，(b2)/(a))，
∴kPF2＝((b2)/(a))/(−c−c)＝−(b2)/(2ac)，
∵PF₂⊥QF₂，
∴kQF2＝(2ac)/(b2)，
∴QF2的方程为：y＝(2ac)/(b2)(x−c)
将x＝(a2)/(c)代入上式解得y=2a，
∴Q点的坐标为((a2)/(c)，2a)；
∵Q点的坐标为（4，4），∴(a2)/(c)＝4且2a＝4，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1；
（2）∵Q点的坐标为((a2)/(c)，2a)，P点的坐标为(−c，(b2)/(a))，
∴kPQ＝(2a−(b2)/(a))/((a2)/(c)−(−c))＝(c(2a2−b2))/(a(a2+c2))＝(c)/(a)，
∴PQ的方程为y−2a＝(c)/(a)(x−(a2)/(c))，
即y＝(c)/(a)x+a
将PQ的方程代入椭圆C的方程得b2x2+a2((c)/(a)x+a)2＝a2b2，
∴（b²+c²）x²+2a²cx+a⁴-a²b²=0①
∵a²=b²+c²
∴方程①可化为a²x²+2a²cx+a²c²=0
解得x=-c
∴直线PQ与椭圆C只有一个公共点．