（2014•嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=∠ABC=90°，E为CD的中点，联结AE并延长交BC的延长线于F；（1）联结BE，求证：BE=EF．（2）联结BD交AE于M，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD的

Question

（2014•嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=∠ABC=90°，E为CD的中点，联结AE并延长交BC的延长线于F；
（1）联结BE，求证：BE=EF．
（2）联结BD交AE于M，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD为直角梯形，∠A=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△DAE和△CFE中，

∠DAE＝∠F

∠ADE＝∠FCE

DE＝CE

，
∴△DAE≌△CFE（AAS），
∴AE=FE，AD=FC，
在直角三角形ABF中：BE=AE=FE；

（2）∵AM=EM，AE=FE，
∴AM=(1)/(3)FM，
∵AD∥BC，
∴(AD)/(BF)=(AM)/(FM)=(1)/(3)，
过D作DH⊥BF于H，
∴∠DHB=90°，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∵AD=BH，∴AD=CH，
在直角三角形CDH中，CH=AD=1，DH=AB=2，
CD=√(DH2+CH2)=√(5)．