设函数f（x）=x2（ex-1）+ax3（1）当a＝−13时，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Question

设函数f（x）=x²（e^x-1）+ax³
（1）当a＝−(1)/(3)时，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a＝−(1)/(3)时，f(x)＝x2(ex−1)−(1)/(3)x3f′（x）=2x（e^x-1）+x²e^x-x²=（2x+x²）（e^x-1）
令f′（x）＞0，得x＞0或-2＜x＜0；令f′（x）＜0，得x＜-2∴f（x）的单调递增区间为（-2，0），（0，+∞）f（x）的单调递减区间为（-∞，-2）…（4分）
（2）f（x）=x²（e^x-1）+ax³=x²（e^x-1+ax）
令g（x）=e^x-1+axx∈[0，+∞）g′（x）=e^x+a
当a≥-1时，g′（x）=e^x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上为增函数．
而g（0）=0，从而当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0恒成立．
若当a＜-1时，令g′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a）
当x∈（0，ln（-a））时，g′（x）＜0，g（x）在（0，ln（-a））上是减函数，
而g（0）=0，从而当x∈（0，ln（-a））时，g（x）＜0，即f（x）＜0
综上可得a的取值范围为[-1，+∞）．…（12分）