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f(x)为分段函数,x1时f(x)=x^2判断x=1的左右导数是否存在
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f(x)为分段函数,x1时f(x)=x^2 判断x=1的左右导数是否存在
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答案和解析
f(1)=2/3
lim(Δx-->0-)[f(1+Δx)-f(1)]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2/3(1+Δx)³-2/3]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2Δ²x+2Δx+Δ³x]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2Δx+2+Δx]
=2
左导数存在
lim(Δx-->0+)[f(1+Δx)-f(1)]/Δx
=lim(Δx-->0+)[(1+Δx)²-2/3]/Δx
=lim(Δx-->0+)[2Δx+Δ²x+1/3]/Δx
=lim(Δx-->0+)[(2+Δx)+1/(3Δx)]
=不存在
右导数不存在
∴f(x)在x=1处不可导
lim(Δx-->0-)[f(1+Δx)-f(1)]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2/3(1+Δx)³-2/3]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2Δ²x+2Δx+Δ³x]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2Δx+2+Δx]
=2
左导数存在
lim(Δx-->0+)[f(1+Δx)-f(1)]/Δx
=lim(Δx-->0+)[(1+Δx)²-2/3]/Δx
=lim(Δx-->0+)[2Δx+Δ²x+1/3]/Δx
=lim(Δx-->0+)[(2+Δx)+1/(3Δx)]
=不存在
右导数不存在
∴f(x)在x=1处不可导
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