我想问一道数学题：若f(x)可导,f(x)的导数与f(x)相等,f(0)=1,求证f(x)=e^x请问这道题可否用罗尔定理、拉格朗日定理.

Question

我想问一道数学题：若f(x)可导,f(x)的导数与f(x)相等,f(0)=1,求证f(x)=e^x
请问这道题可否用罗尔定理、拉格朗日定理.

Answer 1

证明：
由已知得
f'(x)=f(x)
即d[f(x)]/dx=f(x)
分离变量
d[f(x)]/f(x)=dx
∴ln[f(x)]=x+C1
∴f(x)=Ce^x C为任意常数
又f(0)=1
∴f(0)=Ce^0=C=1
∴f(x)=e^x
证毕