设M为正常数,对任意的实数x,y,下面不等式成立|f(y)-f(x)|≤M|y-x|*|y-x|,则在（＋∞,－∞)内,f(x)恒为常数.

Question

设M为正常数,对任意的实数x,y,下面不等式成立|f(y)-f(x)|≤M|y-x|*|y-x|,则在（＋∞,－∞)内,f(x)恒为常数.

Answer 1

任取两点a,b
题目告诉我们|f(a)-f(b)|≤M(a-b)^2
也有|f(a)-f((a+b)/2)|≤M(a-(a+b)/2)^2=M(a-b)^2/4
同理|f(b)-f((a+b)/2)|≤M(a-b)^2/4
所以|f(a)-f(b)|≤|f(a)-f((a+b)/2)|+|f(b)-f((a+b)/2)|≤M(a-b)^2/4+M(a-b)^2/4=M(a-b)^2/2
重复上面的操作,可以得到|f(a)-f(b)|≤M(a-b)^2/2^2,M(a-b)^2/2^3,...,M(a-b)^2/2^n,...
n可以是任意大的自然数
所以必有|f(a)-f(b)|=0.即f(a)=f(b)
于是命题得证