ε1,ε2,...εn是n维欧式空间V的一组基,证明(1)α∈V使得(α,εi)=0（i=1,2...,n),则α=θ(2)α1,α2∈V,对任意的β∈V,均有（α1,β）=（α2,β）,则α1=α2.

Question

ε1,ε2,...εn是n维欧式空间V的一组基,证明
(1)α∈V使得(α,εi)=0（i=1,2...,n),则α=θ
(2)α1,α2∈V,对任意的β∈V,均有（α1,β）=（α2,β）,则α1=α2.

Answer 1

(1),设α=a1ε1+a2ε2+...+anεn,则(α,εi)=0,(i=1,2...,n)
=>(a1ε1+a2ε2+...+anεn,εi)=0,(i=1,2...,n)
=>ai(εi,εi)=0,(i=1,2...,n)
=>ai=0,(i=1,2...,n),即α=0
(2),(α1,β)=(α2,β) =>(α1-α2,β)=0,对任意β∈V成立
取β分别为ε1,ε2,...εn,则由(1),知α1-α2=θ
即α1=α2