设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(1)=0,求证ξ∈(0,1),使得ξf'(ξ)+(2+ξ)f(ξ)=0.这个辅助函数不会构造求指点

Question

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(1)=0,求证ξ∈(0,1),使得ξf'(ξ)+(2+ξ)f(ξ)=0.
这个辅助函数不会构造 求指点

Answer 1

微分方程学过没
y`+(2+x/x)y=0
那么同时乘以e^[∫(2+x/x)dx]=x^2e^x
所以构造函数F(x)=x^2e^xf(x) 则F`(x)=e^x[x^2f(x)+2xf(x)+x^2f`(x)] (因为x>0可以提出一个x)
就化为F`(x)=xe^x[xf(x)+2f(x)+xf`(x)]