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一条宽度为L的河,水流速度为V水,已知船在静水中的速度为V船,那么:(1)怎样渡河时间最短?(2)若V船>V水,怎样渡河位移最小?(3)若V船<V水,怎样渡河船漂下的距离最短?
题目详情
一条宽度为L的河,水流速度为V水,已知船在静水中的速度为V船,那么:
(1)怎样渡河时间最短?
(2)若V船>V水,怎样渡河位移最小?
(3)若V船<V水,怎样渡河船漂下的距离最短?
(1)怎样渡河时间最短?
(2)若V船>V水,怎样渡河位移最小?
(3)若V船<V水,怎样渡河船漂下的距离最短?
▼优质解答
答案和解析
(1)如图所示.设船头斜向上游与河岸成任意角θ.这时船速在垂直与河岸方向的速度分量为V1=V船sinθ,渡河所用时间为t=
=
.可以看出:L、V船一定时,t随sinθ增大而减小;当θ=90°时,sinθ=1(最大).所以船头与河岸垂直时,渡河时间最小tmin=
.
(2)如图所示,渡河的最小位移即河的宽度.为使船能直达对岸,船头应指向河的上游,并与河岸成一定角度θ.根据三角函数关系有:cosθ=
,
因为0≤cosθ≤1,所以只有在V船>V水时,船才有可能垂直河岸渡河.
(3)如果V水>V船,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游,要使船漂下的航程最短,如图所示,设船头V船与河岸成θ角,合速度v与河岸成α角.可以看出:α角越大,船漂下的距离x越短,那么,在什么条件下α角越大呢?以V水的矢尖为圆心,V船为半径画圆,当v与圆相切时,α角最大.根据cosθ=
,
船头与河岸的夹角为θ=arccos
.船漂下的最短距离为xmin=(V水-V船cosθ)
,此时渡河最短位移:s=L;
答:
(1)船头垂直河岸时,渡河时间最短;
(2)若V船>V水,合速度垂直河岸时,渡河位移最小;
(3)若V船<V水,当船的速度垂直合速度时,渡河船漂下的距离最短.

L |
V1 |
L |
V船sinθ |
L |
V船 |
(2)如图所示,渡河的最小位移即河的宽度.为使船能直达对岸,船头应指向河的上游,并与河岸成一定角度θ.根据三角函数关系有:cosθ=
V水 |
V船 |
因为0≤cosθ≤1,所以只有在V船>V水时,船才有可能垂直河岸渡河.

(3)如果V水>V船,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游,要使船漂下的航程最短,如图所示,设船头V船与河岸成θ角,合速度v与河岸成α角.可以看出:α角越大,船漂下的距离x越短,那么,在什么条件下α角越大呢?以V水的矢尖为圆心,V船为半径画圆,当v与圆相切时,α角最大.根据cosθ=
V水 |
V船 |
船头与河岸的夹角为θ=arccos
V水 |
V船 |
L |
V船sinθ |
答:

(2)若V船>V水,合速度垂直河岸时,渡河位移最小;
(3)若V船<V水,当船的速度垂直合速度时,渡河船漂下的距离最短.
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