设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v|t=0=v0．已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t为多少时此质点的速度为v03？并求到此时刻质点所经过的路程．

Question

设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v|_t=0=v₀．已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t为多少时此质点的速度为(v0)/(3)？并求到此时刻质点所经过的路程．

Answer 1

设该单位质点的运动速度为v（t）．
根据质点受力及牛顿第二定律可得：
-v=f=ma=m(dv)/(dt)=(dv)/(dt)
又有初值条件：

v|t=0=v0

s|t=0=0

因此，可解微分方程-v=f=ma=m(dv)/(dt)=(dv)/(dt)
-dt=(dv)/(v)
-t=ln|v|+c=lnv+c，c为常数
代入初始条件v|_t=0=v₀，
可得c=-lnv₀
所以，-t=ln(v)/(v0)，即v=v0e-t
因此，此质点的速度为v=(v0)/(3)时，有
t=-ln(v)/(v0)=-ln((1)/(3)v0)/(v0)=-ln(1)/(3)=ln3
因此，t为ln3时此质点的速度为(v0)/(3)．
到此时刻质点所经过的路程
s=

∫

t 0

vdt=

∫

ln3 0

v0e-tdt=-v0e-t

|

ln3 0

=v0-v0e-ln3=v0-(1)/(3)v0=(2)/(3)v0．