（2014•宝山区一模）给定曲线Γ：（5-m）x2+（m-2）y2=8，（m∈R）．（1）若曲线Γ是焦点为F1（-2，0），F2（2，0）的双曲线，求实数m的值；（2）当m=4时，记M是椭圆Γ上的动点，过椭圆长轴的

Question

（2014•宝山区一模）给定曲线Γ：（5-m）x²+（m-2）y²=8，（m∈R）．
（1）若曲线Γ是焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0）的双曲线，求实数m的值；
（2）当m=4时，记M是椭圆Γ上的动点，过椭圆长轴的端点A作AQ∥QM（O为坐标原点），交椭圆于Q，交y轴于P，求(AQ•AP)/(OM2)的值．

Answer 1

（1）∵曲线Γ：（5-m）x²+（m-2）y²=8，（m∈R），
化简得(x2)/((8)/(5−m))−(y2)/((8)/(2−m))＝1，…（2分）
由题意得a2＝(8)/(5−m)，b2＝(8)/(2−m)，且m＜2，…（3分）
又∵c=2，∴(8)/(5−m)+(8)/(2−m)＝4，解得m=-1，或m=4（舍）…（5分）
∴m=-1．…（6分）
（2）当m=4时，曲线Γ：x²+2y²=8，此时A（-2√(2)，0），…（7分）
设直线OM方程为y=kx，
由

y＝kx

x2+2y2＝8

，得：x2＝(8)/(1+2k2)，
即xM2＝(8)/(1+2k2)，…（8分）
∴OM²=xM2+yM2=x_M²+（kx_M）²=(8(1+k2))/(1+2k2)，…（10分）
∵AQ∥OM，∴AQ方程为：y=k（x+2√(2)），
于是P（o，2√(2)k），AP=√((−2√(2))2+(2√(2)k)2)=2√(2)•√(1+k2)，…（11分）
由

y＝k(x+2√(2))

x2+2y2＝8

，得：（1+2k²）x²+8√(2)k²x+16k²-8=0，
从而AQ=√(1+k2)•(√((8√(2))2−4(1+2k2)(16k2−8)))/(1+2k2)
=√(1+k2)•(4√(2))/(1+2k2)．…（13分）
∴(AQ•AP)/(OM2)=(√(1+k2)•(4√(2))/(1+2k2)•2√(2)•√(1+k2))/((8(1+k2))/(1+2k2))=2．…（14分）