求不定积分（-lnx)^n∫（-lnx)^ndx,n∈R

Question

求不定积分（-lnx)^n
∫（-lnx)^ndx,n∈R

Answer 1

你确定是不定积分吗?如果是[0,1]区间的定积分就简单了.
∫(-lnx)^ndx=(-1)^n*∫(lnx)^ndx
问题转化为求∫(lnx)^ndx的值,用分部积分法
∫(lnx)^ndx=x(lnx)^n-n∫(lnx)^(n-1)dx
∫(lnx)^ndx可用∫(lnx)^(n-1)dx来表示,依次类推可得
∫(lnx)^ndx
=x(lnx)^n-n(lnx)^(n-1)+n(n-1)(lnx)^(n-2)-n(n-1)(n-2)(lnx)^(n-3)+...+(-1)^(n-1)n(n-1)*..*2*1*lnx+(-1)^n*n!*x .(*)
故∫(-lnx)^ndx
=(-1)^n*∫(lnx)^ndx
=(-1)^n*[x(lnx)^n-n(lnx)^(n-1)+n(n-1)(lnx)^(n-2)-n(n-1)(n-2)(lnx)^(n-3)+...+(-1)^(n-1)n(n-1)*..*2*1*lnx+(-1)^n*n!*x]
＝＝＝＝＝＝＝＝
如果是[0,1]区间的定积分,那么(*)式前面n项均为0
∫(0,1)(lnx)^ndx=(-1)^n*n!
∫(0,1)(-lnx)^ndx=(-1)^2n*n!=n!