（2009•江东区模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．（1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕

Question

（2009•江东区模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．
（1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕迹．
（2）若BE=√(2)，试求出AM的长．
（3）当点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接AE，并作AE的中垂线，交AB与M、交AD与N．如图：（3分）

（2）连接ME，如图1，
∵BE=√(2)，
设BM=x，则ME=2-x，
由勾股定理可得：BM²+BE²=ME²，
∴2+x²=（2-x）²，
∴2+x²=4-4x+x²，
∴x=(1)/(2)，
∴AM=(3)/(2)；


（3）延长NM交CB延长线于G点，如图2，
∵BE=x，令BM=a，
则a²+x²=（2-a）²，
a²+x²=4-4a+a²，
∴a=(4−x2)/(4)，
∴AM=2−(4−x2)/(4)＝(4+x2)/(4)，
∵AN=y，
∴GB=y-x，
∵△GBM∽△ANM，
∴(GB)/(AN)＝(BM)/(AM)，
即：(y−x)/(y)＝((4−x2)/(4))/((4+x2)/(4))＝(4−x2)/(4+x2)，
∴y=(4+x2)/(2x)，（8分）
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
∴5-√(21)≤x≤2；（9分）

（4）若BC上存在点E，如图3，使△AME∽△DNE，
∵AM=ME，
∴∠MAE=∠MEA，
又∵EN=ND，
∴∠NDE=∠NED，
∵AD∥BC，
∴∠NED=∠DEC，
要使△AME∽△DNE，
则△ABE∽△DEC，
∴(AB)/(EC)＝(BE)/(CD)，
∴(2)/(5−x)＝(x)/(2)，
∴x²-5x+4=0，
解得：x₁=4（舍去），x₂=1，
∴BE=1，存在点E．（12分）