已知函数f(x)在x=0处可导,且f'(0)=1/3,又对任意的x均有f(x+3)=3f(x),求f'(3).为啥能推出来f'(x+3)=3f'(x)啊？

Question

已知函数f(x)在x=0处可导,且f'(0)=1/3,又对任意的x均有f(x+3)=3f(x),求f'(3).
为啥能推出来f'(x+3)=3f'(x)啊？

Answer 1

题设中f(x)在x=0处可导,在其他处未必可导,所以f'(x+3)=3f'(x)未必成立；
f(3)=f(0+3)=3f(0)
f'(3)=lim[f(3+Δx)-f(3)]/Δx (Δx→0)
=lim[3f(Δx)-3f(0)]/Δx (Δx→0)
=3lim[f(0+Δx)-f(0)]/Δx (Δx→0)
=3f'(0)
=1