关于m和n的方程5m2-6mn+7n2=2011是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由．

Question

关于m和n的方程5m ² -6mn+7n ² =2011是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：假设此方程有整数解．
化5m ² -6mn+7n ² =2011为：4m ² +（m-3n） ² -2n ² =2011，
又∵2011是奇数，
∴只有m-3n是奇数，
若n是偶数，则m就是奇数．
又∵奇数的平方除以8余1，偶数的平方除以8余0或4，
∴4m ² +（m-3n） ² -2n ² 除以8的余数为4+1-0=5；
∵2011除以8余3．
∴这是一个矛盾；
∴m可能为是偶数，n就是奇数，
∵解原方程：m= (6n±36 n2 -20(7 n2 -2011))/(10) = (3n±10055-26 n2)/(5) ①，
∵m是偶数，n是奇数，
∴10055-26n ² ＞0，且是个平方数，
∴n ² ＜387，
即n≤19，
然后将n=1，3，5，…，19代入①求解，
但无符合条件的值．
∴这也是一个矛盾．
∴原方程无整数解．