如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P以每秒一个单位的速度从点A出发，沿对角线AC向点C移动，同时动点Q以相同的速度从点C出发，沿边CB向点B移动．设P，Q两点移动时间为t秒（0≤t≤4）．（

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P以每秒一个单位的速度从点A出发，沿对角线AC向点C移动，同时动点Q以相同的速度从点C出发，沿边CB向点B移动．设P，Q两点移动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）用含t的代数式表示线段PC的长是___；
（2）当△PCQ为等腰三角形时，求t的值；
（3）以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，求t的值．

Answer 1

（1）∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵点P的速度是每秒一个单位，移动时间为t秒，
∴AP=t，
则PC=AC-AP=5-t，
故答案为：5-t；
（2）当CP=CQ时，t=5-t，
解得t=(5)/(2)，
当QP=QC时，过点Q作QH⊥AC于H，如图1，
则PH=HC=(1)/(2)PC=(1)/(2)（5-t），QC=t，
∵QH⊥AC，∠B=90°，
∴△CHQ∽△CBA，
∴(CH)/(CB)=(CQ)/(CA)，即((1)/(2)(5-t))/(4)=(t)/(5)，
解得t=(25)/(13)，
当PQ=PC时，如图2，
过点P作PN⊥QC于N，
则NC=NQ=(1)/(2)QC=(1)/(2)t，
∵△CPN∽△CAB，得
(PC)/(AC)=(CN)/(CB)，即(5-t)/(5)=((1)/(2)t)/(4)，
解得t=(40)/(13)，
综上所述，当t=(5)/(2)或t=(25)/(13)或t=(40)/(13)时，△PCQ为等腰三角形；
（3）连接BP、BM，如图3，则∠BMQ=90°，
∵M为PQ的中点，
∴BP=BQ，
过点P作PK⊥AB于K，
∵AP=t，
∴PK=(4)/(5)t，AK=(3)/(5)t，
∴BK=3-(3)/(5)t，
在Rt△BPK中，PB²=PK²+BK²=（3-(3)/(5)t）²+（(4)/(5)t）²，又BQ=4-t，
∴（4-t）²=（3-(3)/(5)t）²+（(4)/(5)t）²，
解得t=(35)/(22)．
∴以BQ为直径的圆交PQ于点M，当M为PQ的中点时，t的值为

作业搜用户 2017-02-27