如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．（1）判断MN与AC的位

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．

（1）判断MN与AC的位置关系；
（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

（1）∵在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，
∴MN∥AC；
（2）如图1，分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，

根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE=3，GC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S_{四边形AFGE}=AE•GC=3×4=12，
∴线段MN所扫过区域的面积为12．
（3）据题意可知：MD=(1)/(2)AD，DN=(1)/(2)DC，MN=(1)/(2)AC=3，
①当MD=MN=3时，△DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6，
∴t=6，
②当MD=DN时，AD=DC，如图2，过点D作DH⊥AC交AC于H，则AH=(1)/(2)AC=3，

∵cosA=(AH)/(AD)=(AC)/(AB)，
∴(3)/(AD)=(6)/(10)，解得AD=5，
∴AD=t=5．
③如图3，当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，则CM⊥AD，

∵cosA=(AM)/(AC)=(AC)/(AB)，即(AM)/(6)=(6)/(10)，
∴AM=(18)/(5)，
∴AD=t=2AM=(36)/(5)，
综上所述，当t=5或6或(36)/(5)时，△DMN为等腰三角形．