已知关于x的一元二次方程x2+（m-3）x-3m=0．（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）设这个一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．

Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0．
（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）设这个一元二次方程的两根为a、b，且2、a、b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．

Answer 1

（1）∵b²-4ac
=（m-3）²+12m
=m²+6m+9
=（m+3）²；
又∵（m+3）²≥0，
∴b²-4ac≥0，
∴原方程有两个实数根；

（2）原方程可变为（x+m）（x-3）=0，
则方程的两根为x₁=-m，x₂=3，
∴直角三角形三边为2，3，-m；
∴m＜0，
①若-m为直角三角形的斜边时，则：
2²+3²=m²m＝±√(13)，
∴m＝−√(13)；
②若3为直角三角形的斜边时，则：
2²+m²=3²m＝±√(5)
∴m＝−√(5)．