已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若amam+1=am+2，求正整数m的值；（3）

Question

已知数列{a_n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{a_n}前n项和为S_n，且满足S₅=2a₄+a₅，a₉=a₃+a₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_ma_m+1=a_m+2，求正整数m的值；
（3）是否存在正整数m，使得(S2m)/(S2m−1)恰好为数列{a_n}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．

Answer 1

：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则a₁=1，a₂=2，a₃=1+d，a₄=2q，a₉=1+4d．
∵S₅=2a₄+a₅，
∴a₁+a₂+a₃=a₄，即4d=2q，
又a₉=a₃+a₄．
∴1+4d=1+d=2q．
解得：d=2，q=3．
∴对于k∈N^*，有a2k−1＝1+(k−1)•2＝2k−1，a2k＝2•3k−1．
故an＝

n，n＝2k−1

2•3(n)/(2)−1，n＝2k

k∈N*；
（2）若a_m=2k，则由a_ma_m+1=a_m+2，得
2•3^k-1（2k+1）=2•3^k，解得：k=1，则m=2；
若a_m=2k-1，则由（2k-1）•2•3^k-1=2k+1，
此时左边为偶数，右边为奇数，不成立．
故满足条件的正数为2；
（3）对于k∈N^*，有
S2k＝((1+2k−1)k)/(2)+(2(1−3k))/(1−3)＝k2−1+3k．
S2k−1＝S2k−a2k＝k2−1+3k−2•3k−1＝k2−1+3k−1．
假设存在正整数m，使得(S2m)/(S2m−1)恰好为数列{a_n}中的一项，
又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设(S2m)/(S2m−1)=L（L∈N^*），
则(m2−1+3m)/(m2−1+3m−1)＝L，变形得到
（3-L）3^m-1=（L-1）（m²-1）①．
∵m≥1，L≥1，3^m-1＞0，
∴L≤3．
又L∈N^*，故L可能取1，2，3．
当L=1时，（3-L）3^m-1＞0，（L-1）（m²-1）=0，
∴①不成立；
当L=2时，（3-2）3^m-1=（2-1）（m²-1），即3^m-1=m²-1．
若m=1，3^m-1≠m²-1，
令Tm＝(m2−1)/(3m−1)(m∈N*，m≥2)，
则Tm+1−Tm＝((m+1)2−1)/(3m)−(m2−1)/(3m−1)
=(−2m2+2m+3)/(3m)＝(−2(m+(1)/(2))2+(7)/(2))/(3m)
≤(−2m2+2×2+3)/(32)＜0．
因此，1=T₂＞T₃＞…，
故只有T₂=1，此时m=2，L=2=a₂．
当L=3时，（3-3）3^m-1=（3-1）（m²-1）．
∴m=1，L=3=a₃．
综上，存在正整数m=1，使得(S2)/(S1)恰好为数列{a_n}中的第三项，
存在正整数m=2，使得(S4)/(S3)恰好为数列{a_n}中的第二项．