在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a>0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B

Question

在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax²（a>0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若直线y=-2x-2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

Answer 1

（1）如图1，∵AB与x轴平行，
根据抛物线的对称性有AE=BE=1，
∵∠AOB=90°，
∴OE=(1)/(2)AB=1，
∴A（-1，1）、B（1，1），
把x=1时，y=1代入y=ax²得：a=1，
∴抛物线的解析式y=x²，
A、B两点的横坐标的乘积为x_A•x_B=-1
 
（2）x_A•x_B=-1为常数，
如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，
∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△BON，
∴(AM)/(ON)=(OM)/(BN)，
∴OM•ON=AM•BN，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
∵A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）在y=x²图象上，
∴，y_A=xA2，y_B=xB2，
∴-x_A•x_B=y_A•y_B=xA2_•xB2，
∴x_A•x_B=-1为常数；

（3）设A（m，m²），B（n，n²），
如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．
∴(AE)/(OF)=(OE)/(BF)，即(m2)/(n)=(-m)/(n2)，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
设直线AB的解析式为y=kx+b，联立

y=kx+b

y=x2

，得：x²-kx-b=0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn=-b．
∴b=1．
∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．
易知C（0，-2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
设P（a，-2a-2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=-a，GD=OG-OD=-2a-3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG²+GD²=PD²，
即：（-a）²+（-2a-3）²=3²，整理得：5a²+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=-(12)/(5)，
当a=-(12)/(5)时，-2a-2=(14)/(5)，
∴P（-(12)/(5)，(14)/(5)）．